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Mathematik

 

Zu diesem Thema gibt es umfangreiche Literatur, hier soll nur ein Einstieg in einige Teile der Mathematik geboten werden.

Gleichungen

Mathematik lebt von der Beziehung von Zahlen zu und untereinander. Diese Beziehung nennt man Gleichungen, die einfachste ist 2 + 2 = 4.

Gleichungen sind gleich, wenn beide Seiten der Gleichung identisch (also austauschbar) sind!

Gleichungen können auch ungleich sein, dann sind diese Beziehungen durch Größer als (>) oder Kleiner als (<) ausgedrückt.

Lineare Gleichungen sind solche, die eine (oder mehrere) Unbekannte ohne Exponent enthalten, wie zum Beispiel später im Dreisatz zu sehen., Quadratische Gleichungen enthalten eine Variable mit Exponent.

Es gibt für diese Gleichungsysteme einige Grundregeln, die bei der Lösung der Gleichung zu beachten sind:

Vorzeichenregel

zahl minus minus-zahl ergibt zahl plus zahl
2 - (-2) = 2+2 = 4
minus mal minus ergibt plus
plus mal minus und minus mal plus ergibt minus
Beispiel
7 + ( -6 * 2) = 7 + (- 12) = -5
(- 4 )*( - 2) = 4 * 2 = 8
-2 * (8 + 2)=(-2 )* 10 oder (–16)+( - 4) = (-20)

Punkt vor Strich

2*7-1 =14-1
2-3*3+9 =2 - 9 + 9

Klammerregeln

Kommutativgesetz (Vertauschregel)
2 x 5 = 5 x 2 oder 4 + 2 = 2 + 4 oder 4 - 2 = (-2) + 4
2 * (16 + 7 ) = 2 * (7 + 16)
Assoziativgesetz (Klammertauschregel)
2 + (2 + 4) = (2 + 2) + 4 oder 2 + (4-2) = (2 + 4) –2
Distributivgesetz (Klammerauflösung)
2 * (7 - 5) = 2 * 7 - 2 * 5
2*(4*(2+3))=2*(8+12)=2*(4*2+4*3)=2*4*2 + 2*4*3

Allgemein

(a+b)*(c+d)=ac+ad+bc+bd
(a+b)*(c-d)=ac-ad+bc-bd
(a-b)*(c-d)=ac-ad-bc+bd

Quadratische Gleichungen

(a+b)*(a+b)=a*a+a*b+b*a+b*b=a²+2ab+b²
(a+b)*(a-b)=a*a-a*b+b*a-b*b=a²-b²
(a-b)*(a-b)=a²-ab-ab+b²=a²-2ab+b².

Bruchrechnen

Alle Zahlen (auch die natürlichen ganzen Zahlen) können als Bruch ausgedrückt werden:
Hierbei ist es gleichgültig, ob das Ergebnis ganzzahlig natürlich (z.B. 2 oder –4) wird, oder aber zB
bei 4/3 =1,3333... WICHTIG: Der NENNER (unterm Bruchstrich) darf niemals 0 werden!

Rechnen mit Brüchen:

  1. Eine Zahl wird dem Bruch zugerechnet, in dem man die Zahl mit dem Nenner multipliziert und zum Zähler addiert:

     



  2. Eine Zahl wird vom Bruch abgezogen, in dem man die Zahl mit dem Nenner multipliziert und vom Zähler subtrahiert

     

 

  1. Division eines Bruches durch eine Zahl:

     

 

  1. Multiplikation eines Bruches mit einer Zahl

 



  1. Addition von Brüchen

    Brüche werden addiert (subtrahiert), in dem man den kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner sucht und die einzelnen Zähler mit dem Multiplikator aus dem einzelnen Nenner multipliziert. Dann werden die einzelnen Brüche zu einem Bruch zusammengesetz und die Zähler addiert (oder auch subtrahiert)

    hierbei ist g:n=e und g:m=c
    Findet sich kein KGN (Kleinster gemeinsamer Nenner), so nimmt man das Produkt aus den Nennern



  2. Multiplikation von Brüchen
    Brüche werden multipiziert, in dem man die Zähler und die Nenner separat multipiziert

  1. Division von Brüchen
    Brüche werden dividiert, in dem man mit dem Kehrwert multipliziert

 

Zwei Merksätze zu diesem Thema:

In Summen kürzen nur die Dummen (Gilt auch für Minus!)
Man teilt durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrwert mal nimmt(also Zähler und Nenner tauscht)

 

Gleichungen mit einer Unbekannten (Variable)

Gleichungen werden grundsätzlich gelöst, in dem man auf beiden Seiten der Gleichung etwas hinzufügt oder wegnimmt, d.h. jeder Rechenschritt auf einer der beiden Seiten muss auch genauso auf der anderen erfolgen. Ziel der Aktion ist die Isolation der Unbekannten (Varible), um diese in Bezug zu einer bekannten Grösse zu setzen ( Meist natürliche Zahlen)

Der Dreisatz basiert beispielsweise hierauf.

Beispiele:
17 + x = 20 => x = 20 - 17
15 - x = 10 => 15 = x + 10 => x +10 = 15 => x = 15 - 10 => x = 5
2x + 2 = 6 => 2x = 4 => x = 2
In Einzelschritten ( übliche Schreibweise) mit Angabe des Rechenschrittes
4(x +2)+ 12 = 96 [ /2]
2(x+2) + 6 = 48 [Klammerregeln]
2x+4 + 6 = 48 [ - 4, - 6]
2x = 48 - 6 - 4 = 38 [ /2]
x = 19
4(x+2)+12 =96 [/4]
(x+2)+3=24 [-3]
x+2 = 21 [-2]
x = 19
4(x+2)+12 =96
4x + 8 + 12 = 96 [-(8+12)]
4x =76 [/4]
x = 19
Drei unterschiedliche Rechenwege führten zum selben Ergebnis.
Diese Gleichungen lassen sich auch erweitern, in dem auf beiden Seiten der Gleichung eine Variable steht oder auf einer mehrmals dieselbe. Die Berechnung erfolgt dann genauso

Gleichungen mit zwei Unbekannten

Die Algebra kennt neben den einfachen Gleichungen die 2ten Grades, d.h. Gleichungen mit zwei Unbekannten.
Beispiel:
2a + 4b = 20a
a + 2b = 10a
2b = 10a - a
2b = 9 a
a= 2/9 b
Somit werden die Lösungen solcher Gleichungen immer nur ein Verhältnis der beiden Variablen darstellen, bis man das Ergebnis dann in die Gleichung einsetzt:
2(2/9) b + 4b = 20 (2/9)b
(4/9)b + 4b = (40/9) b
(4/9)b + (36/9) b = (40/9) b
4 b + 36 b = 40 b
9 9
<= 40b = 40b !!!!!
Somit stimmte unsere Auflösung ( Das haben wir gerade bewiesen)
Würden wir a (oder b) jedoch mit „0“ ersetzen so wäre automatisch auch b (bzw. a ) = „0“
Die Zahl der Variablen kann bliebig gesteigert werden, nur der Umsetzungsaufwand wächst!

Gleichsetzungsverfahren

ein wichtiges Instrument in der Mathematik zur Bestimmung von Schnittpunkten zweier Funktionen dh. Die Stelle an der das Ergebnis beider Funktionen in Abhängigkeit eines Wertes gleich wird, ist das sogenannte Gleichsetzungsverfahren.

Hierbei werden die beiden Funktionen (d.h. Gleichungen) direkt gleichgesetzt, und das ermittelte Ergebnis ist der Punkt, an dem diese Gleichungen ein gemeinsames Ergebnis haben.

Ein Beispiel hierzu:

y = 2x + 2 und y=3x

=> 2x + 2 = 3x

2=3x - 2x

2=(3-2)x

2=x

in eine der Gleichungen eingesetzt: y = 2*2 + 2 = 6

Kontrolle (andere Gleichung): y = 3*2 = 6

Ergebnis bei x=2 sind beide Gleichungen gleich 6 und somit erfüllt.

Eine sinnvolle Anwendung finden wir in der Andler-formel, also der Bestimmung der optimalen Bestellmenge:

Andlerformel

Zu dieser Formel kommt man, wenn man die Einzelformeln für Lagerhaltungskosten Kl=m*p*q :2 und mittelbare Bestellkosten Km=B*Kf / m gleichsetzt. (Siehe Link)

Additionsverfahren

Das Additionsverfahren ist eine weiter Möglichkeit, das Ergebnis für Gleichungen mit zwei Variablen zu lösen.

Beispiel:

a) 2x + 4y = 20 (* -2)
b) 4x + 10y = 8

a) (-4x) + (-8y) = -40
b) 4x + 10y = 8

=>[a)+b)] 10y - 8y = - 32

2y = - 32

y = -16

Eingesetzt in Gleichung a): 2x + 4*(-16) = 20
2x - 64 = 20
2x = 84
x = 42

Kontrolle: x=42 in 4x + 10y = 8 => 4 * 42 + 10*(-16) =8
168 - 160 = 8

Der Begriff der Funktion

Wir hatten bereits vorausgesetzt, daß Gleichungen das Verhältnis von Zahlen oder Werten (Variablen) untereinander darstellen.

Dies führt ausserdem zum Begriff der Funktion: Gleichungen mit bekannten Zahlen, oder Variablen, die zu einem eindeutigen Ergebnis führen [z.B.: 2x+ 2 = 6 => x=2] nennt man Therm. Haben wir hingegen Gleichungen mit z.B. zwei Variablen, so ist dies bereits eine Funktion, die eine eindeutige Lösung nicht mehr zulassen [2x + 4 = y]; somit sind hier mehrere Zahlenkombinationen möglich, um diesen Therm aufzulösen [(0,4)(1,6)(2,8)(3,10)...] Diese Menge der Zahlen, die Zur Lösung dieser Gleichung führen nennt man Lösungsmenge der Funktion f(x)=2x+4 (Gesprochen f von x). Eine weitergehende Betrachtung des Funktionsbegriff, welche Formen und Arten von Funktionen es gibt, sprengt hier den Rahmen und ist nicht weiter interessant - Nur den Begriff als solchen sollte man zumindest schon gehört haben.

Die Darstellung der Funktion in einem Koordinatensystem nennt man Graph von f(x). Diese Kurve, Linie oder was auch immer wird durch die Wertepaare der Lösungsmenge gebildet, da einem Wert x auf der X-Achse (daher auch der Name) ein Lösungswert y [f(x)] auf der Y-Achse zugeordnet wird. Die Darstellung erzeugt dann eine geschlossene (wenige Ausnahmen, z.B. Tangens, ausgenommen) Linie.

Dreisatz

Der Dreisatz ist ein weit verbreitetes Mittel zur Errechnung auch komplizierter Rechenaufgaben, bei denen die einzelnen Faktoren in einem voneinander abhängigen Verhältnis stehen
Diese sind:
  • Kleiner--> Kleiner

  • Grösser --> Grösser

  • Kleiner --> Grösser

  • Grösser --> Kleiner

Die beiden ersten Fälle sind die einfachsren, da es sich um eine direkte lineare Abhängigkeit handelt, d.h. Der Faktor, der die Veränderung eines der Faktoren bewirkt, ist automatisch auch der des anderen!
Bsp.: M verdient DM 50,- pro Tag. Wieviel verdient er in einem Monat mit 20 Arbeitstagen?
B spekuliert an der Börse.Er hält 800 Anteile an der Firma CCC. Die Aktien der CCC fallen um DM 2,- pro Anteil.Wie hoch ist sein Verlust?
Die Rechnung hierfür ist folgende:

A = B, C = x

A >((<) x

dann folgt daraus: (B * C) / A = x

Das ist die Formel für proportional steigende Verhältnisse (gerader Dreisatz)
Die letzteren beiden Fälle sind als solche ebenfalls linear abhängig, aber ihre Zuordnung ist erst bei genauem Hinsehen zu erkennen. Wichtig hierbei ist der Umstand, dass in der Rechnung die Faktoren richtig angeordnet werden.
Die Rechnung hierfür ist folgende:

A = B, C = x

sei A x

oder

A = B, C = x

sei A > C und B < x

dann folgt daraus: (A * B ) / C = x

Das ist die Formel für umgekehrt proportional steigende Verhältnisse. (ungerader Dreisatz)

Zusammengesetze Dreisätze

werden errechnet, indem man die einzelenen Verhältnisse zum gesuchten Ergebnis sieht und einzeln in die Rechnung einbringt, d.h. aufschlüsselt und nacheinander auf den Bruch bringt.

Beispiel: 6 Kräne veladen 1200 tonnen in 7 Stunden auf 5 Schiffe; wieviel Stunden brauchen 10 Kräne um 800 Tonnen auf 8 Schiffe zu laden?

  1. Schritt
    in 7 h werden 1200t verladen, in x h werden 800t verladen also weniger Stunden für weniger Tonnen
    (gerader Dreisatz) (A*C) / B = x 1 x h = (7h * 800 t) / 1200 t
  2. Schritt
    Für 8 Schiffe braucht man 7 h, für 5 Schiffe weniger, also gerader Dreisatz:
    (A*C) / B = x 1 x h = (7h * 800t) * 8 S / (1200t * 5 S)
  3. Schritt
    Mit 6 Kränen braucht man 7 Stunden, mit 10 Kränen wären es weniger Stunden, also
    (ungerader Dreisatz)(A * B ) / C = x 1 x h = (7h * 800t * 8S * 6K) / (1200t * 5 S * 10K)
  4. Das Ergebnis ist somit leicht errechnet: ca 4.5 h braucht man bei dieser Konstellation.
Ein weiteres Beispiel:
12 Arbeiter produzieren 54 Einheiten eines Produktes an 12 Tagen mit einer täglichen Arbeitszeit von 8 h. Wieviele Stunden täglich müssen 18 Arbeiter an 9 Tagen arbeiten, um 81 Einheiten zu produzieren? Lösungsweg:
12(A)rbeiter (*)
mal
12 (T)age (*)
mal
8 h   54 (E)inheiten
(:)
geteilt durch
  ( :)
geteilt durch
  (*)   (:)
geteilt
18 (A)rbeiter   09 (T)age   x h   81 (E)inheiten
  1. Für 81 Einheiten braucht man länger als für 54 Einheiten
    x h = (8 h * 81 E) / 54 E
  2. an 12 Tagen schafft man mehr als an 9 Tagen
    x h = 8h*12T / 9T
  3. 12 Arbeiter schaffen weniger als 18
    x h = 8h * 12A / 18A
  4. Auf einen Bruchstrich geschrieben:
    x h = 8 h * 81 E * 12 T * 12 A
    54 E * 9 T * 18 A

    Die einzelnen Einheiten werden gegeneinander gekürzt, übrig bleibt nur die gesuchte Einheit (hier h = Stunde)- Wenn nicht, so hat man etwas falsch gemacht.

Prozentrechnung

Prozentrechnung gehört zu den elementarenRechenarten in der Wirtschaft, daher sollte man sie beherrschen. Jede Hochrechnung, die Verzinsung des Kapitals, der Wertverfall der Waren oder der Lagerzinssatz wird prozentual angegeben.

Begriffe: Grundwert G entspricht 100 %
Prozentsatz p ist der Rechenfaktor in %, % entspricht dem Faktor 0,01
Prozentwert P entspricht Grundwert G mal prozentsatz p[%] geteilt durch 100

Formeln: G * p /100 = P
P * 100 / p = G
p[%] = (P / G) * 100 [%]

Beispiel: Ein Meister verdient nach 6% Gehaltserhöhung EUR 2600,- . Wie hoch war sein Gehalt vor der Erhöhung?

P = 2600, p = 106 , G =100 P / p => G = 2600 * 100 / 106 = 2452,38

Warum ist p = 106? P ist größer als G, somit muss der Prozentsatz p über 100 liegen !

Beispiel: Ein Meister verdient EUR 2600,- Er muss 36% an den Fiskus abführen, es verbleiben ihm 64% seines Gehaltes. Wie hoch ist sein Nettoverdienst, wie hoch seine Abgaben?

G = 2600, p = 36 , P = G * p / 100 => P = 2600 * 0,36 = 936 (Abgaben)

G = 2600, p' = 64, P = G * p / 100 => P = 2600 * 0,64 = 2600 - 936 = 1664,- (Nettogehalt)

Beispiel: Ein Meister verdient EUR 2600,-. Er führt EUR 936,- monatlich an den Staat ab. Wie hoch ist sein Steuersatz, wenn der Sozialsatz allein bei 24 % liegt?

p [%] = 936/2600 * 100 [%] = 36 % (Gesamtabgaben) => 36% - 24% = 12% (Steuersatz)


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