Zu diesem Thema gibt es umfangreiche Literatur, hier soll nur ein Einstieg in einige Teile der Mathematik geboten werden.
Mathematik lebt von der Beziehung von Zahlen zu und untereinander. Diese Beziehung nennt man Gleichungen, die einfachste ist 2 + 2 = 4.
Gleichungen sind gleich, wenn beide Seiten der Gleichung identisch (also austauschbar) sind!
Gleichungen können auch ungleich sein, dann sind diese Beziehungen durch Größer als (>) oder Kleiner als (<) ausgedrückt.
Lineare Gleichungen sind solche, die eine (oder mehrere) Unbekannte ohne Exponent enthalten, wie zum Beispiel später im Dreisatz zu sehen., Quadratische Gleichungen enthalten eine Variable mit Exponent.
Es gibt für diese Gleichungsysteme einige Grundregeln, die bei der Lösung der Gleichung zu beachten sind:
Eine Zahl wird dem Bruch zugerechnet, in dem man die Zahl mit dem Nenner multipliziert und zum Zähler addiert:
Eine Zahl wird vom Bruch abgezogen, in dem man die Zahl mit dem Nenner multipliziert und vom Zähler subtrahiert
Division eines Bruches durch eine Zahl:
Multiplikation eines Bruches mit einer Zahl
Addition von Brüchen
Brüche werden addiert (subtrahiert), in dem man den kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner sucht und die einzelnen Zähler mit dem Multiplikator aus dem einzelnen Nenner multipliziert. Dann werden die einzelnen Brüche zu einem Bruch zusammengesetz und die Zähler addiert (oder auch subtrahiert)
hierbei ist g:n=e und g:m=c
Findet sich kein KGN (Kleinster gemeinsamer Nenner), so nimmt man das Produkt aus den Nennern
Multiplikation von Brüchen
Brüche werden multipiziert, in dem man die Zähler und die Nenner separat multipiziert
Division von Brüchen
Brüche werden dividiert, in dem man mit dem Kehrwert multipliziert
Gleichungen werden grundsätzlich gelöst, in dem man auf beiden Seiten der Gleichung etwas hinzufügt oder wegnimmt, d.h. jeder Rechenschritt auf einer der beiden Seiten muss auch genauso auf der anderen erfolgen. Ziel der Aktion ist die Isolation der Unbekannten (Varible), um diese in Bezug zu einer bekannten Grösse zu setzen ( Meist natürliche Zahlen)
Der Dreisatz basiert beispielsweise hierauf.
ein wichtiges Instrument in der Mathematik zur Bestimmung von Schnittpunkten zweier Funktionen dh. Die Stelle an der das Ergebnis beider Funktionen in Abhängigkeit eines Wertes gleich wird, ist das sogenannte Gleichsetzungsverfahren.
Hierbei werden die beiden Funktionen (d.h. Gleichungen) direkt gleichgesetzt, und das ermittelte Ergebnis ist der Punkt, an dem diese Gleichungen ein gemeinsames Ergebnis haben.
Ein Beispiel hierzu:
y = 2x + 2 und y=3x
=> 2x + 2 = 3x
2=3x - 2x
2=(3-2)x
2=x
in eine der Gleichungen eingesetzt: y = 2*2 + 2 = 6
Kontrolle (andere Gleichung): y = 3*2 = 6
Ergebnis bei x=2 sind beide Gleichungen gleich 6 und somit erfüllt.
Eine sinnvolle Anwendung finden wir in der Andler-formel, also der Bestimmung der optimalen Bestellmenge:
Zu dieser Formel kommt man, wenn man die Einzelformeln für Lagerhaltungskosten Kl=m*p*q :2 und mittelbare Bestellkosten Km=B*Kf / m gleichsetzt. (Siehe Link)
Das Additionsverfahren ist eine weiter Möglichkeit, das Ergebnis für Gleichungen mit zwei Variablen zu lösen.
Beispiel:
a) 2x + 4y = 20 (* -2)
b) 4x + 10y = 8
a) (-4x) + (-8y) = -40
b) 4x + 10y = 8
=>[a)+b)] 10y - 8y = - 32
2y = - 32
y = -16
Eingesetzt in Gleichung a): 2x + 4*(-16) = 20
2x - 64 = 20
2x = 84
x = 42
Kontrolle: x=42 in 4x + 10y = 8 => 4 * 42 + 10*(-16) =8
168 - 160 = 8
Wir hatten bereits vorausgesetzt, daß Gleichungen das Verhältnis von Zahlen oder Werten (Variablen) untereinander darstellen.
Dies führt ausserdem zum Begriff der Funktion: Gleichungen mit bekannten Zahlen, oder Variablen, die zu einem eindeutigen Ergebnis führen [z.B.: 2x+ 2 = 6 => x=2] nennt man Therm. Haben wir hingegen Gleichungen mit z.B. zwei Variablen, so ist dies bereits eine Funktion, die eine eindeutige Lösung nicht mehr zulassen [2x + 4 = y]; somit sind hier mehrere Zahlenkombinationen möglich, um diesen Therm aufzulösen [(0,4)(1,6)(2,8)(3,10)...] Diese Menge der Zahlen, die Zur Lösung dieser Gleichung führen nennt man Lösungsmenge der Funktion f(x)=2x+4 (Gesprochen f von x). Eine weitergehende Betrachtung des Funktionsbegriff, welche Formen und Arten von Funktionen es gibt, sprengt hier den Rahmen und ist nicht weiter interessant - Nur den Begriff als solchen sollte man zumindest schon gehört haben.
Die Darstellung der Funktion in einem Koordinatensystem nennt man Graph von f(x). Diese Kurve, Linie oder was auch immer wird durch die Wertepaare der Lösungsmenge gebildet, da einem Wert x auf der X-Achse (daher auch der Name) ein Lösungswert y [f(x)] auf der Y-Achse zugeordnet wird. Die Darstellung erzeugt dann eine geschlossene (wenige Ausnahmen, z.B. Tangens, ausgenommen) Linie.
Kleiner--> Kleiner
Grösser --> Grösser
Kleiner --> Grösser
Grösser --> Kleiner
A = B, C = x
A >((<) x
dann folgt daraus: (B * C) / A = x
A = B, C = x
sei A x
oder
A = B, C = x
sei A > C und B < x
dann folgt daraus: (A * B ) / C = x
werden errechnet, indem man die einzelenen Verhältnisse zum gesuchten Ergebnis sieht und einzeln in die Rechnung einbringt, d.h. aufschlüsselt und nacheinander auf den Bruch bringt.
Beispiel: 6 Kräne veladen 1200 tonnen in 7 Stunden auf 5 Schiffe; wieviel Stunden brauchen 10 Kräne um 800 Tonnen auf 8 Schiffe zu laden?
12(A)rbeiter | (*) |
12 (T)age | (*) |
8 h | 54 (E)inheiten | |
(:) | ( :) | (*) | (:) | |||
18 (A)rbeiter | 09 (T)age | x h | 81 (E)inheiten |
x h = | 8 h * 81 E * 12 T * 12 A |
54 E * 9 T * 18 A |
Prozentrechnung gehört zu den elementarenRechenarten in der Wirtschaft, daher sollte man sie beherrschen. Jede Hochrechnung, die Verzinsung des Kapitals, der Wertverfall der Waren oder der Lagerzinssatz wird prozentual angegeben.
Begriffe: Grundwert G entspricht 100 %
Prozentsatz p ist der Rechenfaktor in %, % entspricht dem Faktor 0,01
Prozentwert P entspricht Grundwert G mal prozentsatz p[%] geteilt durch 100
Formeln: G * p /100 = P
P * 100 / p = G
p[%] = (P / G) * 100 [%]
Beispiel: Ein Meister verdient nach 6% Gehaltserhöhung EUR 2600,- . Wie hoch war sein Gehalt vor der Erhöhung?
P = 2600, p = 106 , G =100 P / p => G = 2600 * 100 / 106 = 2452,38
Warum ist p = 106? P ist größer als G, somit muss der Prozentsatz p über 100 liegen !
Beispiel: Ein Meister verdient EUR 2600,- Er muss 36% an den Fiskus abführen, es verbleiben ihm 64% seines Gehaltes. Wie hoch ist sein Nettoverdienst, wie hoch seine Abgaben?
G = 2600, p = 36 , P = G * p / 100 => P = 2600 * 0,36 = 936 (Abgaben)
G = 2600, p' = 64, P = G * p / 100 => P = 2600 * 0,64 = 2600 - 936 = 1664,- (Nettogehalt)
Beispiel: Ein Meister verdient EUR 2600,-. Er führt EUR 936,- monatlich an den Staat ab. Wie hoch ist sein Steuersatz, wenn der Sozialsatz allein bei 24 % liegt?
p [%] = 936/2600 * 100 [%] = 36 % (Gesamtabgaben) => 36% - 24% = 12% (Steuersatz)